


MATH.4------------------------------------------





  лпппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппл
 ГлАААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААлГ
 ГлААААААА  DIGITAL PERMUTATIONS AND RECURRANCES  ААААААААААААААААААААААААлГ
 ГлАААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААлГ
 ГлААААААА  IN NUMBERS   7   9   AND   11  АААААААААААААААААААААААААААААААлГ
 ГлАААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААлГ
 ГлАААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААлГ
  лмммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммл



  The following deals with a specific nature in number pattern generation.
  When investigated, numbers identified as being characteristically;


                                       1
       RECURRING        typically ;   ФФФФ   =  .090909090909....
                                       11


                                       1
       REPEATING        typically ;   ФФФФ   =  .111111111111....
                                       9


                                       1
       DIGIT PAK        typically ;   ФФФФ   =  .142857 142857 ....
                                       7


                                       1
       WHOLE INTEGER    typically ;   ФФФФ   =  .2
                                       5


                                       1
       WHOLE NUMBER     typically ;   ФФФФ   =  1
                                       1

                                                  к
       DIGIT SET        typically ;   ћ5     =  2.Г2360679771....
                                                  Р

                                                  к                   ћ5
       DIGIT VALUE      typically ;   G      =  1.Г6180339887....  =  ФФ + 1
                                                  Р                   2


 are found to be organized rather than merely co-incidental. Such can
 so then said to be favored numbers. So then, favored numbers are those
 which always produce a pre-predictable result in a mathematical operation.


       Some identifying characteristics of such numbers are:


 кФФФФФФП
 Г ONE. Г
 РФФФФФФй
                           1
     'UNITS'   Example:   ФФФ  =  .06Г25Г   =    Г25Г x .00Г25Г .
                          16         РФФй        РФФй      РФФй
       u
      D

               The appearance of the DIGIT PAK  Г25Г  is favorably
                                                РФФй
               prevalent in actions of the number  16 .


     In another example:

      к     П2
      Г  1  Г          1
      Г ФФФ Г    =   ФФФФФФ   =  .003906Г25Г   =  1.56Г25Г  x  .00Г25Г .
      Г 16  Г           2               РФФй          РФФй        РФФй
      Р     й         16



 кФФФФФФП
 Г TWO. Г
 РФФФФФФй
                           12
     'PAK'     Example:   ФФФФ   =   1.0909090909   is a two DIGIT PAK,
                           11
       p
      D

               in this case  Г09Г .
                             РФФй


               Two DIGIT PAKS are always in result as a repeater
               when any rational number is divided by 11.


               The digits comprising the two DIGIT PAK associated with
               11  invariably sum to equal  9 .

                          135
               Example:   ФФФ   =  12.27272727Г27Г     and   2 + 7  =  9 .
                          11                  РФФй



     In another example of DIGIT PAK(S):

        1
       ФФФ   =  .142857 142857 Г142857Г   is a six DIGIT PAK invariably
        7                      РФФФФФФй   associated with number  7  .


        There are six possible permutations in which sixpaks strung
        together in repeat comprise a number value. These are
        identified as follows:



     TABLE A1
    ФФФФФФФФФФ


        1
       ФФФ   =     . 1 4 2 8 5 7    1 4 2 8 5 7    1 4 2 8 5 7
        7              Г Г Г Г Г              .              .
                       Г Г Г Г Г              .              .
                       Г Г Г Г Г              .              .
        2              Г Г Г Г Г              .              .
       ФФФ   =     .   Г 2 8 5 7 1 4    2 8 5 7 1 4    2 8 5 7 1 4
        7              Г   Г Г Г              .              .
                       Г   Г Г Г              .              .
                       Г   Г Г Г              .              .
        3              Г   Г Г Г              .              .
       ФФФ   =     .   4 2 8 5 7 1    4 2 8 5 7 1    4 2 8 5 7 1
        7                  Г Г Г              .              .
                           Г Г Г              .              .
                           Г Г Г              .              .
        4                  Г Г Г              .              .
       ФФФ   =     .       Г 5 7 1 4 2 8    5 7 1 4 2 8    5 7 1 4 2 8
        7                  Г   Г              .              .
                           Г   Г              .              .
                           Г   Г              .              .
        5                  Г   Г              .              .
       ФФФ   =     .       Г   7 1 4 2 8 5    7 1 4 2 8 5    7 1 4 2 8 5
        7                  Г   .              .              .
                           Г   .              .              .
                           Г   .              .              .
        6                  Г   .              .              .
       ФФФ   =     .       8 5 7 1 4 2    8 5 7 1 4 2    8 5 7 1 4 2
        7                      .              .
                               .              .
                               .              .
        7                      .              .
       ФФФ   =    1.0          .              .
        7                      .              .
                               .              .
                               .              .
        8                      .              .                 7 + 1
       ФФФ   =    1. 1 4 2 8 5 7    1 4 2 8 5 7             =  ФФФФФФФ
        7              Г Г   Г .              .                   7
                       Г Г   Г .              .
                       Г Г   Г .              .
        9              Г Г   Г .              .                 7 + 2
       ФФФ   =    1.   Г 2 8 5 7 1 4    2 8 5 7 1 4         =  ФФФФФФФ
        7              Г     Г .              .                   7
                       Г     Г .              .
                       Г     Г .              .
       10              Г     Г .              .                 7 + 3
       ФФФ   =    1.   4 2 8 5 7 1    4 2 8 5 7 1           =  ФФФФФФФ
        7                    Г                                    7
                             Г
                             Г
       11                    Г                                  7 + 4
       ФФФ                   5 7 1 4 2 8                    =  ФФФФФФФ
        7                                      ETC.               7




                  The initial Digit of each Pak, as obtained
                  in  TABLE A1,  for:


                      1      2      3      4      5      6
                      Ф      Ф      Ф      Ф      Ф      Ф
                      7      7      7      7      7      7

             are:

                    кФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФП
                    Г 1      2      4      5      7      8 Г
                    РФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФй



                  (In passing comment). It is noted that a natural
                  number base of  7  is thus apparent, in that:


                                                кФФФФ Digit Pak(s)
                                                Г
                  к  П      к  П    к  П    p  Фй
                  Гn Г(7) + Гn Г  = Гn Г + D
                  Г iГ      Г fГ    Г iГ
                  Р  й      Р  й    Р  й



                  For example:



   TERMS       BASE                                      VALUE
  ФФФФФФФ     ФФФФФФ         кФФФФП                     ФФФФФФФ
                             ГSUMSГ                                   кФФФФП
                             РФФФФй                                   ГSUMSГ
                                             3                        РФФФФй
    1.     (0)(7) + 3   =   3   П           ФФФ  =  0. 428571 428571    П
                                Г            7                          Г
                                Г 7                                     Г 1
                                Г           10                          Г
    2.     (1)(7) + 3   =   10  Д           ФФФ  =  1. 428571 428571    Д
                                Г            7                          Г
                                Г 7                                     Г 1
                                Г           17                          Г
    3.     (2)(7) + 3   =   17  Д           ФФФ  =  2. 428571 428571    Д
                                Г            7                          Г
                                Г 7                                     Г 1
                                Г           24                          Г
    4.     (3)(7) + 3   =   24  Д           ФФФ  =  3. 428571 428571    Д
                                Г            7                          Г
                                Г 7                                     Г 1
                                Г           31                          Г
    5.     (4)(7) + 3   =   31  й           ФФФ  =  4. 428571 428571    й
                                             7
                                                                      ETC.


                  But, back to business ....



    Even in trigonometry for instance, the characteristic
    DIGIT PAK  for  7  can occur;  typically:

                       кФФФФФП
          360ј         Г     Г
         ФФФФФФ   =   51.428571ј  ;  therefore the Sine Angle is:
           7
                          кФФФФФП
                          Г     Г
                      38.51428571ј   ;  and the Sine Angle minus
                                        the Cosine Angle is:

                            кФФФФФФФП
                            Г       Г
                      12.857142  857142 ... ј  .



 кФФФФФФФФП
 Г THREE. Г
 РФФФФФФФФй

                                1
     'RECURRING'    Example:   ФФФ   =  .11111111111  demonstrates that
                                9
       r
      D             any whole rational number divided by  9  has a
                    recurring single digit as the Decimal remainder.



 кФФФФФФФП
 Г FOUR. Г
 РФФФФФФФй

                                             Г            Г            Г
     'REPEAT'       The  DIGIT PAK    1234567Г90   1234567Г90   1234567Г90
                                             Г            Г            Г
       k                                                               ......
      D             frequently is a factor in manipulations of  9 .


                For example:

                    1                 Г            Г            Г          1
                 ФФФФФФФ   =   1234567Г90   1234567Г90   1234567Г90   =   ФФФФ
                   к П2               Г            Г            Г          81
                   Г9Г                                          ........
                   Р й



 кФФФФФФФП
 Г FIVE. Г
 РФФФФФФФй

     'DIGIT SUM'    The SUM of the DIGITS of the REPEATING group of Item 4
                    shown immediately above, are in themselves a favored SUM,
       s            as shown here.
      D
                                      Г
                               1234567Г90    =   37   =   10   =   1
                                      Г
                                       (8 is missing)


                    I.e., when the DIGITS are added, then added again,
                    then again, etc., they eventually add to become a
                    single digit.



 кФФФФФФП
 Г SIX. Г
 РФФФФФФй                                         кФФФФФФФФФФФП
                                                  Г           Г
     'CHARACTERISTIC PAK'    Example:    ћ2  =  1.414213562...
                                            c
       c                     in which the  D  PAK  .414213562...
      D
                             re-appears in numerous permutations.


                             For example:

                             к       1  П
                             Г1  -  ФФФ Г                     кФФФФФФФФФФФП
                             Р      ћ2  й                     Г           Г
                            ФФФФФФФФФФФФФФ   =   ћ2 - 1   =  .414213562...
                                  1
                                 ФФФ
                                 ћ2



                             And:


                                  1
                                 ФФФ                           кФФФФФФФФФФФП
                                 ћ2                            Г           Г
                            ФФФФФФФФФФФФФФ   =   ћ2 + 1   =  2.414213562...
                             к       1  П
                             Г1  -  ФФФ Г
                             Р      ћ2  й



        These ratios have a general condition:


                                     1
                              1  -  ФФФ
                                    ћy
                            ФФФФФФФФФФФФФФ   =   ћy - 1  .
                                  1
                                 ФФФ
                                 ћy

        And:

                                  1
                                 ФФФ
                                 ћy
                            ФФФФФФФФФФФФФФ   =   ћy + 1
                             к       1  П
                             Г1  -  ФФФ Г
                             Р      ћy  й

                                                 so that the re-appearance
                                     c
                            of the  D  PAKS  for   ћ2,   ћ3,   ћ5,   and

                                  ћ5
                            G  = ФФФФ + .5   turn up through a wide range
                                  2

                            of mathematical and trigonometrical operations.



        The characteristics as shown above for numbers   7   9   and   11
        each have unique circumstances involving them.

        In particular:
                                  s                 p
                        The Sum  D  of number   7  D    =  27  =  9 .



    TABLE A2
   ФФФФФФФФФФ

                    кФФФФФФФФФП             кФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФ
        1           Г         Г             Г
       ФФФ   =    . 1 4 2 8 5 7 ......      Г  1 4 2 8 5 7     Primary
        7           Г                       Г                  Digit
                    Г                       Г  1 2 3 4 5 6     Order
                    Г                       Г  Ф Ф Ф Ф Ф Ф
                    Г                       Г
        2           Г                       Г
       ФФФ   =    . 2 8 5 7 1 4 ......      Г  1 3 2 6 4 5     Primary
        7           Г                       Г                  Digit
                    Г                       Г  1 4 2 8 5 7     Sequence
                    Г                       Г  Ф Ф Ф Ф Ф Ф
                    Г                       Г
        3           Г                       Г
       ФФФ   =    . 4 2 8 5 7 1 ......      Г  1 2 3 4 5 6     Primary
        7           Г                       Г                  Logical
                    Г                       Г  1 2 4 5 7 8     Order
                    Г                       Г  Ф Ф Ф Ф Ф Ф
                    Г                       Г
        4           Г                       Г
       ФФФ   =    . 5 7 1 4 2 8 ......      Г  I.e.;
        7           Г                       Г
                    Г                       Г  Digits of any PAK include:
                    Г                       Г
                    Г                       Г  1 and 2,  4 and 5,  7 and 8
        5           Г                       Г         3         6         9
       ФФФ   =    . 7 1 4 2 8 5 ......      Г
        7           Г                       Г         3, 6, 9, are excluded.
                    Г                       Г
                    Г                       Г  When any number D is divided
                    Г                       Г  by  7 ;  the result is  A;
        6           Г                       Г  consisting of some or none
       ФФФ   =    . 8 5 7 1 4 2 ......      Г  relevant digits followed by
        7           Г                       Г  one of the six Digital Orders.
                    Г                       Г
                    Г                       Г
                    Г                       Г  The relevant Digit part is (a).
        7           Г                       Г
       ФФФ   =   1.0                        РФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФ
        7


                    Any number is thus 'pre-predictable' to  7  in that;
                    for example:


                        30
                        ФФ   =   4. 285714  285714 .....
                        7

                                 where:     (4) is the number before
                                                the decimal point,


                                 and:       7   is the divisor,


                                 and so:    (4) x 7  =   28   =   (a)


                                 and:       30  is the number being divided,


                                 and:       30 - 28  =  Г2Г .
                                                        РФй


                         Then:   Г2Г  is the  NOTE  for pre-predicting that
                                 РФй          РФФй

                                      the DIGIT PAK begins with a  2 .


                         NOTES  are:
                         РФФФй

                         Notes:   (1)  (2)  (3)  (4)  (5)  (6)  ФП   Primary
                                                                 Г   Digit
                         Digits:   1    2    4    5    7    8   Фй   Sequence



        In another example:


                         2482
                        ФФФФФФ   =   354. 571428  571428
                           7

                                 And:     (354) x 7    =   2478

                                 And:     2482 - 2478  =   (4)  .

                                 Thus:    The  DIGIT PAK  begins with  5 ;

                                          as in:     (4)  NOTE
                                                      5   DIGIT .


        In another example:


                         41
                        ФФФФ     =   5. 857142 857142
                         7

                                 And:     41 - (5 x 7)  =  (6)

                                 And:     (6)  is the  NOTE  for digit  8

                                          in the Primary Digit Sequence

                                          shown above.



        NUMBER 9 FACTORS


        Conversly:
                                                                    s
                         Any number  A  having a  Repeating Digit  D  ;

                                    s
                                   D
                         where   ФФФФФФ   constitutes the whole of the
                                 (n...)


                         repeating part of  A ;  is a factdor of  9 ;

                         in that:
                                    к       П
                                    Г   s   Г
                                    Г  D    Г       s
                            9 (A -  ГФФФФФФ Г)  +  D   =  D
                                    Г(n...) Г
                                    Р       й                  s
                                                       where  D   is the

                                                       Digit Sum of  D .



        Miscellaneous examples:


        987988       Where:   987988   =   D   =   49   in summed digits

                                (49)   =   9 + 8 + 7 + 9 + 8 + 8
                                (13)   =   4 + 9                  Digit
                                                                  Summing

                     Then:       4     =   1 + 3

                                 Г       s
                                 РФФФФФ D


                      987988
                     ФФФФФФФФ  =   109776.444444444  =  A
                         9

                                                           s
                               кФФФФ The Recurring Digit  D
                               Г
                      987988 - 4         987984
                     ФФФФФФФФФФФФ   =   ФФФФФФФФ
                         9                  9


                    к    s      s      s         s           s          r
         =  109776  Г + D   +  D   +  D     +   D    ....   D       =  D
            (a)     Г   ФФ    ФФФ    ФФФФ     ФФФФФ       ФФФФФФ
                    Р   10    100    1000     10000       (n...)       Recurring
             Г                                                         Digit
             Г
             РФФФ Relevant Digit Part of  A




        A more difficult example is:


          D  =  1

                1                                                 s
        And:   ФФФ   =   . 11111111111111 ....   =   A     and   D  =  1
                9


        So:    1 - 1  =   0

                    s     0          к
               D - D  =  ФФФ   =  0  Г + 1  +  1  +  1   +  1   ....  1
                          9          Г   ФФ   ФФФ   ФФФФ   ФФФФФ     ФФФ
                                     Р   10   100   1000   10000      n

                               =  0. 111111111 ....


        In another more difficult example:

                       s
        Given that:   D  =  9


        And that:     A  is  a whole number


        As when:      D  =  63

                       s
            And:      D  =  6 + 3  =  9

                                  54         к
           Then:      63 - 9  =  ФФФФ  =  6  Г +  .99999999 ....  =  7
                                   9         Р

                                                 63
                                       =  A  =  ФФФФ
                                                  9

          Where:      the above Equal Signs denote Sequences of
                      operations rather than Singular Equalities.


   In a different approach is shown;

                                                2        2        2
   In the familiar trio:                       3        4        5


                                           =   9        16       25


                           And:   9 + 16   =   25


                            Or:   x + y    =   z     when   x = 9
                                                            y = 16
                                                            z = 25


              y - x        16 - 9           7                       9
   Then:     ФФФФФФФ   =   ФФФФФФФ     =   ФФФ   =  .7777777777  =   Z
                x             9             9


              y                            16                       9
             ФФФ                       =   ФФ    = 1.7777777777  =   Z + 1
              x                            9


              y + x        16 + 9          25                       9
             ФФФФФФФ   =   ФФФФФФФ     =   ФФ    = 2.7777777777  =   Z + 2
                x             9            9


              y + 2x       16 + 9 + 9      34                       9
             ФФФФФФФФ  =   ФФФФФФФФФФ  =   ФФ    = 3.7777777777  =   Z + 3
                x             9            9

                                                                 Continue....


   The  Digit Sum  of    34  is   3 + 4 = 7     of number 7   ФФП
            Г                                                   Г
     s      Г      of    25  is   2 + 5 = 7     of number 16    Г
    D   =   Г                                                   Г   =   D
            Г      of    16  is   1 + 6 = 7     of number 25    Г
            Г                                                   Г
            РФФФ   of     7  is   0 + 7 = 7     of number 34  ФФй


                                         s
                                     Г  D
                                     Г
   Such that:         34 - 7  =  27  Г  9    and  27  divided by  9  is  3
                                     Г
         s            25 - 7  =  18  Г  9         18            s        2
    D - D   =                        Г                     D - D
                      16 - 7  =  9   Г  9          9      ФФФФФФФ        1
                                     Г                       s2
                       7 - 7  =  0   Г  0          0        D            0
                                     Г



   It seems that:


      Any number  (D)
                             s
      minus the Digit Sum  (D )  of  (D)
                                                          s     s2
      is a whole number multiple of  9  ;   where   (D - D ) = D    is

                                            a second Digit Sum equal to 9 .



   So for instance:

                                                                      s2
                              кФФФФwhole number multiple of  9  and  D   =  9.
                              Г
                             27
      34  -  (3 + 4 + 7)  =  ФФ   =  3
                             9
                   s
      D           D                  whole number


      And:                                                           EQ. S1

      к         П
      Г       s Г   к    s     s     s      s            s
      Г  D - D  Г   Г + D  +  D  +  D   +  D     ....   D     =   D   =  A
      Г ФФФФФФФ Г   Г   ФФ   ФФФ   ФФФФ   ФФФФФ        ФФФ        Ф
      Г    9    Г   Р   10   100   1000   10000        (n)        9
      Р         й


      As in:        34
                    ФФ   =  3.7777777777....
                    9
                              s
                         =   D



      For the heck of it,  EQ. S1  can be handwritten as:

                s
      (n)  -  (D  of (n))
        ФФФФФФФФФФФФФФФ      =  A    A whole number.
               9                                     s
                                     And this plus  D   repeated in

                                     continue after the Decimal Point

                                     comprises  (n).






  лпппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппл
 ГлАААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААлГ
 ГлАААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААлГ
 ГлАААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААлГ
 ГлААААААА  A PROOF OF NUMEROLOGY  АААААААААААААААААААААААААААААААААААААААлГ
 ГлАААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААлГ
 ГлАААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААлГ
  лмммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммл



      There is thus a proven credibility in the numerological notion that
      the Summing of Digits comprising a number can be a meaningful factor
      in the nature of that number.

      The credibility is proven for, at the least, numbers involving  7
      and numbers involving  9 .
             s                    s
      When  D  is a number, and  D  is the  Digit Sum  of that number;

  Then:

     кФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФП
     Г FACTORS INVOLVING 7 Г
     РФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФй
            s
      D - (D  x 7)
       ФФФФФФФФФФ    =  N        Where  N  is the  NOTE  determining which
           7                                       ФФФФ
                                 Digit starts the recurring  Digit Pak  for

                                 factors involving 7 .

     кФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФП
     Г FACTORS INVOLVING 9 Г
     РФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФй

           s
      D - D                                    s
      ФФФФФ    =      A whole number;  in which  D  is also the value
        9
                      of the remainder's Repeating Digit  for factors

                      involving 9 .


     кФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФП
     Г FACTORS INVOLVING 11 Г
     РФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФй

      The number  11  typically has a  Digit Pak  consisting of a pair of
      2 digits, repeating in a continue after the Decimal Point when  11
      divides a number.  Otherwise of course  1  can divide a whole
      number resulting in a decimal value of  0 .

      As for instance   374   =  34 .
                        ФФФ
                        11


      DIGIT PAKS FOR NUMBER  11  CONSIST ONLY OF:

      sp
     D     =    0     9    9     9     9     9     9     9     9     9     9
      p       ФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФ
     D     =   00    09   18    27    36    45    54    63    72    81    90
               ФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФ
   к  p  П
   Г D   Г
   Г ФФФ Г =    0     1    2     3     4     5     6     7     8     9     10
   Г  sp Г
   Г D   Г                                                         d
   Р     й                                                     =  P

                                                                  Pack Position
                 sp
      In which  D   is the  Digit Sum of
                 p
      each Pak, D  is the Pak, and:

            к  p  П
       d    Г D   Г
      P  =  Г ФФФ Г   demonstrates that the  Pak's  Digit Sum  (=9)  times
            Г  sp Г
            Г D   Г                           d
            Р     й   the  Pak's  position  (P ) ,  gives the two Digits


                      characteristic of the  Pak.



   FUNDAMENTALLY THERE IS:


   0                       5                          10
   ФФ   = 0.0              ФФ   =  .45454545454       ФФ   =   .9090909090
   11                      11                         11


   1                       6                          11
   ФФ   = .0909090909      ФФ   =  .54545454545       ФФ   =  1.0
   11                      11                         11


   2                       7                          12
   ФФ   = .1818181818      ФФ   =  .63636363636       ФФ   =  1.0909090909
   11                      11                         11
                                                              begins new
                                                              set of Paks.
   3                       8
   ФФ   = .2727272727      ФФ   =  .72727272727
   11                      11


   4                       9
   ФФ   = .36363636363     ФФ   =  .81818181818
   11                      11



      The Paks are revealing regards motives in the way any
      number  (D)  divided by  11 ,  results in a given Pak.

      For example, given any number;

                                           d  =  2
        кФФФ  D      кФФФ  (a)       кФФФ P
        Г            Г               Г
      1234
      ФФФФ   =  112. 18 18 18 18 18 18
       11
                            p
                whose Pak  D  is  [18]

                                      sp
                whose Pak Digit Sum  D   is    1 + 8 = 9

                                  v    [18]             d
                whose Pak Value  D  =  ФФФФ   =  2  =  P   =  Pak Position .
                                         9

      And since:

                 кФФФ (a)
                 Г
                112 x 11  =  1232


      There-in:

                1234 - 1232  =  2

                        2
      That is,  since   Ф  = .1818181818 ;  then obviously:
                        11
                                                            d
                                            D           D - P
                the Digit Pak portion of    ФФ    is    ФФФФФФ  .
                                            11            11


      For instance, when:

                                                 [18]            [n]
                112.181818181818181       and    ФФФФ   =  2  =  ФФФ  ,
                (a)   [n] = [18]                   9              9


                               [n]
      Then:     (11 x (a))  +  ФФФ   =  D
                                9


                D               [n]
      So:       ФФ  =  (11(a) + ФФФ)
                11               9


                D
      Or:       ФФ  =  (11(a) + 2)
                11


                1234                    18
      Or:       ФФФФ  =  (11 x 112)  +  ФФ  .
                 11                      9



      Other examples include:


                 10                                   [90]
      D = 10 ;   ФФ   =  0.909090909090 ...    and:   ФФФФ   =  10
                 11                                    9


                         So that:   (11 x 0)  +  10   =   10
                                         (a)              D



                 100                                  [09]
      D = 100 ;  ФФФ  =  9.090909090909 ...    and:   ФФФФ   =  1
                 11                                    9


                        So that:   (11 x 9)  +  1    =   100
                                        (a)               D




  лпппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппл
 ГлАААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААлГ
 ГлААААААА  CONTINUED IN  MATH.5  ААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААлГ
 ГлАААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААлГ
 ГлАААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААлГ
  лмммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммл